Moduł i argument liczby zespolonej
Innym, powszechnie stosowanym oznaczeniem modułu liczby zespolonej \( z \) jest symbol \( r=|z| \).
Geometrycznie moduł liczby zespolonej \( z \) to odległość tej liczby od początku układu współrzędnych.
Powyższą interpretację możemy rozszerzyć na dwie dowolne liczby zespolone. Niech mianowicie \( z_{0}=x_{0}+iy_{0} \) oraz \( z=x+iy \) będą dwiema liczbami zespolonymi. Wówczas \( z-z_{0}=(x-x_{0})+i(y-y_{0}) \) oraz \( \mathfrak{Re}z=x-x_{0} \), \( \mathfrak{Im}z=y-y_{0} \). Mamy
Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie równości jest zwykłą odległością euklidesową punktu \( (x,y) \) od punktu \( (x_{0},y_{0}) \). Zatem dla dowolych liczb zespolonych \( z,z_{0}\in\mathbb{C} \) moduł ich różnicy \( |z-z_{0}| \) oznacza odległość \( z \) od \( z_{0} \) na płaszczyźnie zespolonej.
Twierdzenie 1: Własności modułu liczby zespolonej
- \( |z|\geqslant 0 \), przy czym \( |z|= 0 \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( z=\mathbf{0} \);
- \( \left| z_{1}+z_{2} \right|\leqslant \left| z_{1} \right|+\left| z_{2} \right| \);
- \( \left|\left| z_{1} \right|-\left| z_{2}\right| \right|\leqslant \left| z_{1}-z_{2} \right| \);
- \( z\cdot \bar{z}=|z|^{2} \);
- \( \left| z_{1}\cdot z_{2} \right|=\left| z_{1} \right|\cdot \left| z_{2} \right| \);
- \( \left| \frac{z_{1}}{z_{2}} \right|=\frac{\left| z_{1} \right|}{\left| z_{2}\right|} \), jeżeli \( z_{2} =\mathrel{\llap{/\,}} \mathbf{0} \).
Przyjmujemy, że argumentem liczby zespolonej \( z=\mathbf{0} \) jest dowolna liczba rzeczywista \( \varphi\in\mathbb{R} \), zaś argumentem głównym dla \( z=\mathbf{0} \) jest \( \varphi=0 \).
Argument liczby \( z \) oznaczamy symbolem \( \mathrm{arg}z \), zaś argument główny symbolem \( \mathrm{Arg}z \). Mamy zatem
Geometrycznie argument liczby zespolonej \( z \) to kąt skierowany, jaki tworzy wektor \( \vec{\mathbf{0}z} \) z dodatnią półosią osi rzeczywistej \( \mathfrak{Re}z \).
Mamy:
\( |z|=\sqrt{1+3}=2 \).
Układ równań ( 1 ) ma postać:
Kątem z przedziału \( \lbrack 0,2 \pi \) spełniającym powyższy układ równań jest \( \varphi=\frac{2}{3}\pi \). Zatem \( \mathrm{Arg}z=\frac{2}{3}\pi. \)
Zauważmy przy tym, że rozważany układ równań jest spełniony także dla \( \varphi_{1}=-\frac{4}{3}\pi \) czy dla \( \varphi_{2}=\frac{8}{3}\pi \). Zarówno \( \varphi_{1} \) jak i \( \varphi_{2} \) są zatem argumentami liczby \( z=-1+\sqrt{3} \), przy czym \( \varphi_{1}=\varphi-2\pi \), a \( \varphi_{2}=\varphi+2\pi \). Korzystając z zależności \( \mathrm{arg}z=\mathrm{Arg}z+2k\pi \), gdzie \( k\in \mathbb{Z} \) możemy wyliczyć inne argumenty liczby \( z \).
Łatwo zauważyć, że dla liczby zespolonej \( z=x+iy \), podanie jej modułu \( r=|z| \) i argumentu \( \varphi=\mathrm{Arg}z \) jest opisem położenia liczby \( z \) względem bieguna w punkcie \( \mathbf{0} \) oraz półosi dodatniej jako półosi biegunowej.